我们要彻底理解这个问题，需要深入到计算机底层是如何存储浮点数（Floating Point）的。这里涉及到一个核心概念：科学计数法（Scientific Notation）的二进制版本。
我们把这个问题拆解成三个部分：结构解析、为什么是 1024 个刻度、为什么范围不同精度不同。
1. 结构解析：计算机怎么存小数？
mediump (FP16) 只有 16 个格子（bits）来存数字。它不可能把所有数字都存下来，所以它采用了“滑动窗口”的策略。
结构如下：
- 符号位 (1 bit): 正数还是负数。
- 指数位 (5 bits, Exponent): 决定了数字的量级（是几十、几千、还是零点几）。你可以把它理解为标尺的缩放倍率。
- 尾数位 (10 bits, Mantissa): 决定了在这个量级下的精度。你可以把它理解为标尺上的刻度线。
类比：
想象你有一把尺子，这把尺子只有 1024 个刻度（由 10 bits 尾数决定，$2^{10}=1024$）。
- 当你测量蚂蚁时（指数小），你把尺子缩得很短，这 1024 个刻度非常密集，能测得很准。
- 当你测量大楼时（指数大），你把尺子拉得很长，这 1024 个刻度就被拉稀疏了，精度就变差了。
2. 为什么在 [1.0, 2.0) 区间只有 1024 个刻度？
这是由浮点数的标准公式决定的（IEEE 754）。
一个归一化（Normalized）的浮点数的值是这样计算的：
$$ \text{数值} = 2^{\text{指数}} \times (1 + \text{尾数}) $$
- 注意那个 **$1 +$**：这是计算机的一个“聪明设计”。因为二进制下的科学计数法，首位永远是 1（就像十进制科学计数法首位不能是 0 一样，比如 $1.23 \times 10^5$），所以计算机默认省略了这个 1，只存小数点后面的部分，这样能多白嫖 1 bit 的精度。
让我们来看看 [1.0, 2.0) 这个区间发生了什么：
要表示 1.0 到 1.999… 之间的数，指数（Exponent）必须固定为 0（因为 $2^0 = 1$）。
- 基准值: $2^0 = 1$。
- 变化部分: 全靠那 10 bits 的尾数 来微调。
尾数有 10 位，每一位可以是 0 或 1。
- 最小的尾数是
0000000000(十进制 0) - 最大的尾数是
1111111111(十进制 1023) - 总共有 $2^{10} = 1024$ 种组合。
因此，在 $1 \times (1 + \text{尾数})$ 这个公式里，尾数把 $[0, 1)$ 这个范围切成了 1024 份。
- 第 0 个刻度 (1.0): $1 \times (1 + \frac{0}{1024}) = 1.000000$
- 第 1 个刻度: $1 \times (1 + \frac{1}{1024}) \approx 1.000976$
- 第 2 个刻度: $1 \times (1 + \frac{2}{1024}) \approx 1.001953$
- …
- 第 1023 个刻度: $1 \times (1 + \frac{1023}{1024}) \approx 1.999023$
结论：
在 1.0 到 2.0 之间，你无法表示 1.0005 这样的数。你只能选择 1.0000 或者 1.000976。
这就是所谓的分辨率（Resolution）为 $1/1024$。
3. 为什么“大约 3 位十进制精度”？
这只是一个换算估值。
我们常用的十进制，3 位数字（000~999）能提供 1000 个刻度。
二进制的 10 bits 提供了 1024 个刻度。
因为 $1024 \approx 1000$，所以我们常说 FP16 的精度大约相当于十进制的 3 位有效数字。
这意味着：
- $1.234$ (4位) 可能存不准。
- $1.23$ (3位) 通常能存准。
4. 扩展：为什么数值越大，精度越差？（关键点）
刚才我们看的是指数为 $2^0=1$ 的情况（[1, 2]区间）。
如果我们把数值变大，比如到了 [2048, 4096] 这个区间，会发生什么？
此时指数变成了 $2^{11} = 2048$。
公式变成了：
$$ \text{数值} = 2048 \times (1 + \text{尾数}) $$
尾数依然只能切分 1024 份。
也就是把 2048 到 4096 中间这段长度为 2048 的距离，切成 1024 份。
- 每一步的步长（精度） = $\frac{\text{区间长度}}{\text{刻度数量}} = \frac{2048}{1024} = 2.0$
恐怖的结论：
在 [2048, 4096] 这个范围内，mediump 无法表示奇数！
它只能表示 2048, 2050, 2052…
如果你想存 2049，它会被强制舍入到 2048 或 2050。
这就是为什么我在上一个回答中说，如果你的 UV 坐标通过 Tiling 变得很大（比如 uv * 100），mediump 精度会崩坏，因为“尺子的刻度”变得非常稀疏，已经大于一个像素的宽度了。